设函数f(x)=x^2+2x+alnx

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/24 12:44:17
设函数f(x)=x^2+2x+alnx
当t》1时，不等式f（2t-1）》2f(t)-3恒成立，求实数a的范围
若将3看作f(1)，化简后用[f(2t-1)+f(1)]/2>=f(t)是凹函数
二级导数>0来做是否可以，请求更巧妙的解法。

f(2t-1)>=2f(t)-3
<----> 2t^2-4t+2+aln(2t-1)=2lnt>=0
2(t-1)^2>+alm(2t-1)-2lnt>=0

设x=t-1, x>=0, 上面不等式等价于
2x^2+aln(2x+1)-2aln(x+1)>=0
ln(2x+1)<=ln(x^2+2x+1)=2ln(x+1)
所以如果a<=0, 上面的不等式显然成立。
所以现在设a>0.
2x^2+aln[(2x+1)/(x^2+2x+1)]>=0
ln[(2x+1)/(x^2+2x+1)]=ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]>=-x^2/(x^2+2x+1)].
所以如果2x^2-ax^2/(x^2+2x+1)]>=0, 即2(x+1)^2-a>=0,那么原不等式自然成立。2(x+1)^2-a>=0恒成立对x>=0, 那么a<=2.
如果a>2, 因为当x--->0+时， 极限x^2/ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]=-1, 因此对充分小的正数x,2x^2+aln[1-x^2/(x^2+2x+1)]=ax^2*[2/a+ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]/x^2]<0.

综上， a<=2.

..,先留个记号，有时间再来！呵呵

有时间再来

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